[{"content":"La notazione è uno strumento che ci permette di esprimere idee e operazioni matematiche in modo sintetico e preciso. Una buona notazione può farci risparmiare tempo e fatica, e questo non è certo poco! Ma il suo vantaggio più importante è un altro: può rendere semplici e leggibili ragionamenti che, senza gli strumenti adeguati, diventerebbero lunghi e complicati.\nVediamo un esempio concreto: la dimostrazione della proprietà associativa della differenza simmetrica tra insiemi.\n$$ (A \\Delta B) \\Delta C = A \\Delta (B \\Delta C) $$\nL\u0026rsquo;obiettivo è dimostrare che il modo in cui raggruppiamo tre insiemi quando applichiamo la differenza simmetrica non cambia il risultato.\nPrima di cominciare, fermiamoci un momento e rinfreschiamoci le idee sulle operazioni coinvolte. Ci serviranno alcuni strumenti di logica, un po\u0026rsquo; di algebra degli insiemi e, soprattutto, una notazione che ci permetta di passare agevolmente da un linguaggio all\u0026rsquo;altro.\nInsiemi e predicati Stabiliamo un ambiente di lavoro, o insieme universo, che indicheremo con $U$.\nUn insieme $A$ contenuto in $U$ può essere descritto mediante un predicato $P(x)$: una proprietà che può essere vera o falsa per ciascun elemento $x$ dell\u0026rsquo;universo.\nPossiamo quindi definire l\u0026rsquo;insieme $A$ per comprensione:\n$$ A = \\{x \\in U \\mid P(x)\\} $$\nIn altre parole, $A$ contiene esattamente gli elementi di $U$ per i quali $P(x)$ è vera.\nPer definizione, dunque, possiamo scrivere:\n$$ x \\in A \\iff P(x) $$\nIl simbolo $\\iff$ indica un\u0026rsquo;equivalenza logica: le due proposizioni sono vere e false esattamente negli stessi casi.\nPossiamo anche caratterizzare un insieme mediante la sua stessa relazione di appartenenza:\n$$ A = \\{x \\in U \\mid x \\in A\\} $$\nPuò sembrare una definizione un po\u0026rsquo; buffa, perché non ci sta dicendo nulla di nuovo su quali siano gli elementi di $A$. Tuttavia, mette in evidenza un punto fondamentale: un insieme può essere descritto attraverso il predicato che stabilisce se un elemento gli appartiene oppure no.\nQuesto ci permette di tradurre le operazioni tra insiemi in operazioni logiche sui predicati di appartenenza.\nAd esempio:\nUnione:\n$$ A \\cup B = \\{x \\in U \\mid x \\in A \\lor x \\in B\\} $$\nIntersezione:\n$$ A \\cap B = \\{x \\in U \\mid x \\in A \\land x \\in B\\} $$\nDifferenza:\n$$ A \\setminus B = \\{x \\in U \\mid x \\in A \\land x \\notin B\\} $$\nI simboli $\\lor$ e $\\land$ indicano rispettivamente la disgiunzione logica (OR) e la congiunzione logica (AND).\nPer la negazione di una proposizione useremo il simbolo $\\lnot$. In particolare, la negazione della proposizione $x \\in B$ si scrive:\n$$ \\lnot(x \\in B) \\iff x \\notin B $$\nQuesta equivalenza può sembrare banale, ma è proprio ciò che ci permette di trasformare le operazioni tra insiemi in formule logiche, manipolarle con le regole della logica e poi tornare agli insiemi.\nUna prima dimostrazione: due modi di scrivere la differenza simmetrica La differenza simmetrica tra due insiemi $A$ e $B$ è l\u0026rsquo;insieme degli elementi che appartengono a uno solo dei due insiemi.\nLa definiamo così:\n$$ A \\Delta B = (A \\setminus B) \\cup (B \\setminus A) $$\nPossiamo anche descriverla in un altro modo:\n$$ A \\Delta B = (A \\cup B) \\setminus (A \\cap B) $$\nLa seconda espressione dice che prendiamo tutti gli elementi che appartengono ad almeno uno dei due insiemi ed eliminiamo quelli che appartengono a entrambi.\nDimostriamo che le due definizioni sono equivalenti. Per farlo, lavoriamo sui predicati di appartenenza.\n$$ \\begin{aligned} x \\in (A \\setminus B) \\cup (B \\setminus A) \u0026amp;\\iff x \\in (A \\setminus B) \\lor x \\in (B \\setminus A) \\\\ \u0026amp;\\iff (x \\in A \\land x \\notin B) \\lor (x \\in B \\land x \\notin A) \\\\ \u0026amp;\\iff (x \\in A \\lor x \\in B) \\land \\underset{Tautologia}{(x \\in A \\lor x \\notin A)} \\land \\underset{Tautologia}{(x \\notin B \\lor x \\in B)} \\land (x \\notin A \\lor x \\notin B) \\\\ \u0026amp;\\iff (x \\in A \\lor x \\in B) \\land \\lnot(x \\in A \\land x \\in B) \\\\ \u0026amp;\\iff x \\in (A \\cup B) \\land x \\notin (A \\cap B) \\\\ \u0026amp;\\iff x \\in (A \\cup B) \\setminus (A \\cap B) \\end{aligned} $$\nAbbiamo quindi dimostrato che un elemento appartiene al primo insieme se e solo se appartiene al secondo. Per estensionalità, i due insiemi sono uguali:\n$$ (A \\setminus B) \\cup (B \\setminus A) = (A \\cup B) \\setminus (A \\cap B) $$\nIl principio di estensionalità afferma proprio questo: due insiemi sono uguali se e solo se hanno gli stessi elementi.\nNotiamo anche un piccolo vantaggio della notazione. Scrivere $\\iff$ al posto di una semplice uguaglianza rende esplicito che stiamo confrontando proposizioni logiche, non insiemi. Non è un dettaglio puramente estetico: una notazione precisa ci aiuta a capire che tipo di oggetto stiamo manipolando in ogni passaggio.\nLa dimostrazione lunga: sviluppiamo le differenze Ottimo, abbiamo ripassato gli strumenti che ci servono. Possiamo affrontare il problema iniziale:\n$$ (A \\Delta B) \\Delta C = A \\Delta (B \\Delta C) $$\nCercheremo di sviluppare entrambi i membri fino a ottenere una stessa espressione.\nPartiamo dal membro sinistro. Sostituiamo la definizione di differenza simmetrica:\n$$ \\begin{aligned} (A \\Delta B) \\Delta C \u0026amp;= ((A \\setminus B) \\cup (B \\setminus A)) \\Delta C \\\\ \u0026amp;= (((A \\setminus B) \\cup (B \\setminus A)) \\setminus C) \\;\\cup\\; (C \\setminus ((A \\setminus B) \\cup (B \\setminus A))) \\end{aligned} $$\nLa notazione comincia già a far girare la testa, ma noi procediamo imperterriti. Per rendere i passaggi più leggibili, studiamo prima due proprietà della differenza tra insiemi.\nLa differenza distribuisce sull\u0026rsquo;unione nel primo argomento Consideriamo:\n$$ (X \\cup Y) \\setminus C $$\nTraduciamo il predicato di appartenenza:\n$$ \\begin{aligned} x \\in (X \\cup Y) \\land x \\notin C \u0026amp;\\iff (x \\in X \\lor x \\in Y) \\land x \\notin C \\\\ \u0026amp;\\iff (x \\in X \\land x \\notin C) \\lor (x \\in Y \\land x \\notin C) \\end{aligned} $$\nRitornando agli insiemi, otteniamo:\n$$ (X \\cup Y) \\setminus C = (X \\setminus C) \\cup (Y \\setminus C) $$\nLa differenza si distribuisce quindi sull\u0026rsquo;unione quando l\u0026rsquo;unione compare nel primo argomento, cioè a sinistra del simbolo $\\setminus$.\nLa differenza rispetto a un\u0026rsquo;unione nel secondo argomento Che cosa succede, invece, quando l\u0026rsquo;unione compare nel secondo argomento?\n$$ C \\setminus (X \\cup Y) $$\nTraduciamo nuovamente il predicato:\n$$ \\begin{aligned} x \\in C \\land x \\notin (X \\cup Y) \u0026amp;\\iff x \\in C \\land \\lnot(x \\in X \\lor x \\in Y) \\\\ \u0026amp;\\iff x \\in C \\land (x \\notin X \\land x \\notin Y) \\\\ \u0026amp;\\iff (x \\in C \\land x \\notin X) \\land x \\notin Y \\end{aligned} $$\nOtteniamo:\n$$ C \\setminus (X \\cup Y) = (C \\setminus X) \\setminus Y $$\nIn questo caso non otteniamo un\u0026rsquo;unione di differenze, ma una differenza applicata due volte.\nÈ importante non confondere i due risultati: la posizione dell\u0026rsquo;unione rispetto al simbolo $\\setminus$ cambia la formula che possiamo utilizzare. Una buona notazione aiuta proprio a individuare queste differenze strutturali.\nTorniamo al membro sinistro Riprendiamo lo sviluppo di $(A \\Delta B) \\Delta C$ e applichiamo le proprietà appena dimostrate.\n$$ \\begin{aligned} (A \\Delta B) \\Delta C \u0026amp;= ((A \\setminus B) \\cup (B \\setminus A)) \\Delta C \\\\ \u0026amp;= (((A \\setminus B) \\cup (B \\setminus A)) \\setminus C) \\;\\cup\\; (C \\setminus ((A \\setminus B) \\cup (B \\setminus A))) \\\\ \u0026amp;= ((A \\setminus B) \\setminus C) \\;\\cup\\; ((B \\setminus A) \\setminus C) \\;\\cup\\: (C \\setminus ((A \\setminus B) \\cup (B \\setminus A))) \\\\ \u0026amp;= (A \\setminus (B \\cup C)) \\;\\cup\\; (B \\setminus (A \\cup C)) \\;\\cup\\; (C \\setminus ((A \\setminus B) \\cup (B \\setminus A))) \\end{aligned} $$\nNel passaggio finale abbiamo usato l\u0026rsquo;identità:\n$$ (X \\setminus Y) \\setminus Z = X \\setminus (Y \\cup Z) $$\nOra dobbiamo semplificare il termine che contiene la differenza tra $C$ e un\u0026rsquo;unione.\n$$ C \\setminus ((A \\setminus B) \\cup (B \\setminus A)) $$\nPer farlo, usiamo ancora la proprietà appena dimostrata:\n$$ \\begin{aligned} C \\setminus ((A \\setminus B) \\cup (B \\setminus A)) \u0026amp;= (C \\setminus (A \\setminus B)) \\setminus (B \\setminus A) \\\\ \u0026amp;= ((C \\setminus A) \\cup (C \\cap B)) \\setminus (B \\setminus A) \\\\ \u0026amp;= ((C \\setminus A) \\setminus (B \\setminus A)) \\cup ((C \\cap B) \\setminus (B \\setminus A)) \\\\ \u0026amp;= (C \\setminus (A \\cup B)) \\cup (A \\cap B \\cap C) \\end{aligned} $$\nNel terzo passaggio abbiamo utilizzato l\u0026rsquo;identità:\n$$ X \\setminus (Y \\setminus Z) = (X \\setminus Y) \\cup (X \\cap Z) $$\nL\u0026rsquo;ultimo passaggio si può verificare osservando che il primo termine contiene gli elementi di $C$ che non appartengono né ad $A$ né a $B$, mentre il secondo contiene gli elementi comuni ai tre insiemi.\nSostituendo il risultato, otteniamo:\n$$ \\begin{aligned} (A \\Delta B) \\Delta C \u0026amp;= (A \\setminus (B \\cup C)) \\\\ \u0026amp;\\quad \\cup (B \\setminus (A \\cup C)) \\\\ \u0026amp;\\quad \\cup (C \\setminus (A \\cup B)) \\\\ \u0026amp;\\quad \\cup (A \\cap B \\cap C) \\end{aligned} $$\nAbbiamo sviluppato il membro sinistro. Adesso dovremmo fare altrettanto con il membro destro:\n$$ A \\Delta (B \\Delta C) $$\nIl procedimento è analogo. Sostituendo la definizione di differenza simmetrica e applicando le stesse proprietà, arriviamo a:\n$$ \\begin{aligned} A \\Delta (B \\Delta C) \u0026amp;= (A \\setminus (B \\cup C)) \\\\ \u0026amp;\\quad \\cup (B \\setminus (A \\cup C)) \\\\ \u0026amp;\\quad \\cup (C \\setminus (A \\cup B)) \\\\ \u0026amp;\\quad \\cup (A \\cap B \\cap C) \\end{aligned} $$\nI due membri sono uguali alla stessa espressione. Perciò:\n$$ \\boxed{(A \\Delta B) \\Delta C = A \\Delta (B \\Delta C)} $$\nLa proprietà associativa è dimostrata.\nCerto che lo sviluppo di tutti questi conti non è stato affatto agile! Siamo passati dalle operazioni tra insiemi ai predicati di appartenenza, abbiamo manipolato formule logiche e poi siamo tornati agli insiemi. La quantità di notazione e di trasformazioni rende la dimostrazione piuttosto faticosa.\nPossiamo fare di meglio? Introduciamo una nuova notazione: il complementare di un insieme rispetto all\u0026rsquo;universo $U$.\n$$ A^c = \\{x \\in U \\mid x \\notin A\\} $$\nIn altre parole, $A^c$ contiene tutti gli elementi dell\u0026rsquo;universo che non appartengono ad $A$.\nQuesta semplice definizione ci permette di riscrivere la differenza tra insiemi usando soltanto intersezioni e complementari:\n$$ A \\setminus B = A \\cap B^c $$\nLa differenza simmetrica diventa quindi:\n$$ \\begin{aligned} A \\Delta B \u0026amp;= (A \\setminus B) \\cup (B \\setminus A) \\\\ \u0026amp;= (A \\cap B^c) \\cup (B \\cap A^c) \\end{aligned} $$\nPossiamo anche esprimere le leggi di De Morgan in una forma particolarmente compatta:\n$$ \\begin{aligned} (A \\cup B)^c \u0026amp;= A^c \\cap B^c \\\\ (A \\cap B)^c \u0026amp;= A^c \\cup B^c \\end{aligned} $$\nLa prima legge dice che non appartenere all\u0026rsquo;unione equivale a non appartenere a entrambi gli insiemi. La seconda dice che non appartenere all\u0026rsquo;intersezione equivale a non appartenere ad almeno uno dei due.\nAbbiamo introdotto una nuova notazione, ma non una nuova operazione fondamentale: il complementare è definito attraverso l\u0026rsquo;appartenenza e la negazione. Il vantaggio è che possiamo riutilizzare le regole già conosciute, riducendo il numero di simboli e di trasformazioni da gestire.\nLa stessa dimostrazione, con una notazione più efficace Torniamo alla proprietà associativa della differenza simmetrica. Questa volta utilizziamo il complementare e le leggi di De Morgan.\nPartiamo dal membro sinistro:\n$$ \\begin{aligned} (A \\Delta B) \\Delta C \u0026amp;= ((A \\cap B^c) \\cup (B \\cap A^c)) \\Delta C \\\\ \u0026amp;= (((A \\cap B^c) \\cup (B \\cap A^c)) \\cap C^c) \\cup (C \\cap ((A \\cap B^c) \\cup (B \\cap A^c))^c) \\\\ \u0026amp;= (A \\cap B^c \\cap C^c) \\cup (B \\cap A^c \\cap C^c) \\cup (C \\cap ((A \\cap B^c)^c \\cap (B \\cap A^c)^c)) \\\\ \u0026amp;= (A \\cap B^c \\cap C^c) \\cup (B \\cap A^c \\cap C^c) \\cup (C \\cap ((A^c \\cup B) \\cap (B^c \\cup A))) \\\\ \u0026amp;= (A \\cap B^c \\cap C^c) \\cup (B \\cap A^c \\cap C^c) \\cup (C \\cap A^c \\cap B^c) \\cup (C \\cap A \\cap B) \\end{aligned} $$\nNell\u0026rsquo;ultimo abbiamo usato la distributività e osservato che:\n$$ A^c \\cap A = \\varnothing \\qquad B^c \\cap B = \\varnothing $$\nI termini che contengono queste intersezioni sono quindi vuoti e possono essere eliminati dall\u0026rsquo;unione.\nOtteniamo così:\n$$ \\begin{aligned} (A \\Delta B) \\Delta C \u0026amp;= (A \\cap B^c \\cap C^c) \\\\ \u0026amp;\\quad \\cup (B \\cap A^c \\cap C^c) \\\\ \u0026amp;\\quad \\cup (C \\cap A^c \\cap B^c) \\\\ \u0026amp;\\quad \\cup (A \\cap B \\cap C) \\end{aligned} $$\nSviluppando nello stesso modo il membro destro, si ottiene esattamente la medesima espressione:\n$$ \\begin{aligned} A \\Delta (B \\Delta C) \u0026amp;= (A \\cap B^c \\cap C^c) \\\\ \u0026amp;\\quad \\cup (B \\cap A^c \\cap C^c) \\\\ \u0026amp;\\quad \\cup (C \\cap A^c \\cap B^c) \\\\ \u0026amp;\\quad \\cup (A \\cap B \\cap C) \\end{aligned} $$\nDi conseguenza:\n$$ \\boxed{(A \\Delta B) \\Delta C = A \\Delta (B \\Delta C)} $$\nLa proprietà associativa è dimostrata anche con questo secondo metodo.\nNon è soltanto una questione di abbreviare Abbiamo ottenuto lo stesso risultato in entrambi i casi, ma con strumenti diversi.\nLa prima dimostrazione ha richiesto di manipolare ripetutamente le differenze tra insiemi, prestando attenzione alla posizione delle unioni e delle intersezioni. La seconda ha trasformato le differenze in intersezioni con complementari, consentendoci di applicare in modo sistematico le leggi di De Morgan e la distributività.\nNon è soltanto una questione di fatica: una buona notazione mette in evidenza la struttura del problema e rende più facile riconoscere quali regole applicare.\nLa notazione del complementare, in questo caso, non ha semplicemente abbreviato le formule. Ha ricondotto il problema a un insieme di operazioni più uniforme, governato da regole che conosciamo bene.\nNaturalmente, non esiste una notazione migliore in assoluto. Una notazione efficace dipende dal problema che vogliamo risolvere e dalle proprietà che desideriamo mettere in evidenza. Per questo, conoscere più modi di rappresentare lo stesso oggetto matematico è uno strumento importante per chi fa matematica.\nLa prossima volta che vi trovate davanti a una dimostrazione particolarmente laboriosa, provate a fermarvi e a chiedervi:\n«Conosco abbastanza bene la notazione che sto usando? Esiste un modo diverso di rappresentare questo problema che renda più semplici i passaggi?»\nA volte, la strada più breve per una dimostrazione non consiste nel fare meno calcoli, ma nel trovare il linguaggio giusto per farli.\n","permalink":"https://blog.fuoriformula.it/posts/limportanza-della-notazione/","summary":"\u003cp\u003eLa notazione è uno strumento che ci permette di esprimere idee e operazioni matematiche in modo sintetico e preciso. Una buona notazione può farci risparmiare tempo e fatica, e questo non è certo poco! Ma il suo vantaggio più importante è un altro: \u003cstrong\u003epuò rendere semplici e leggibili ragionamenti che, senza gli strumenti adeguati, diventerebbero lunghi e complicati.\u003c/strong\u003e\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eVediamo un esempio concreto: la dimostrazione della proprietà associativa della differenza simmetrica tra insiemi.\u003c/p\u003e","title":"L'importanza della notazione"},{"content":"Sappiamo scrivere un numero con la virgola. Ad esempio, $1.23$ significa un\u0026rsquo;unità, due decimi e tre centesimi. Le parole stesse ci suggeriscono che stiamo considerando frazioni, parti di un qualcosa.\nIn effetti, questo numero può essere rappresentato equivalentemente dalla frazione $\\dfrac{123}{100}$, ovvero $123 \\cdot \\dfrac{1}{100}$, che significa: consideriamo $123$ parti di un\u0026rsquo;unità divisa in $100$ parti.\nPer tutti i numeri che possiamo scrivere \u0026ldquo;con la virgola\u0026rdquo; (in realtà useremo il punto come notazione internazionale per il separatore decimale) e che hanno un numero finito di cifre decimali, la rappresentazione in forma di frazione è immediata.\nProviamo ora a invertire il gioco: partiamo da una frazione e scopriamo la sua rappresentazione decimale.\nDalla frazione al numero decimale Calcoliamo, carta e penna, il valore di $\\dfrac{1}{9}$. Procederemo con la divisione usuale.\n$$ \\begin{array}{rrr|l} \u0026amp;\u0026amp; 1\\phantom{0000} \u0026amp; 9 \\\\ \\hline \u0026amp;- \u0026amp; 0\\phantom{0000} \u0026amp; 0.111\\ldots \\\\ \u0026amp; \u0026amp; 10\\phantom{000} \u0026amp; \\\\ \u0026amp;- \u0026amp; 9\\phantom{000} \u0026amp; \\\\ \u0026amp; \u0026amp; 10\\phantom{00} \u0026amp; \\\\ \u0026amp;- \u0026amp; 9\\phantom{00} \u0026amp; \\\\ \u0026amp; \u0026amp; 10\\phantom{0} \u0026amp; \\\\ \u0026amp; \u0026amp; \\vdots\\phantom{0} \u0026amp; \\end{array} $$\nEntriamo in un ciclo infinito: ottenuto come resto il numero $1$, aggiungiamo uno $0$ per calcolare la cifra decimale successiva, che risulta essere $1$. Calcoliamo quindi $10-9$ e torniamo ad avere resto $1$. Il procedimento si ripete indefinitamente.\nVolendo usare la notazione decimale, non sarà possibile scrivere questo numero mediante una sequenza finita di cifre: avremo un $1$ che si ripete all\u0026rsquo;infinito dopo la virgola.\nFortuna che sappiamo scrivere le frazioni! Con due numerelli separati da una lineetta ci siamo tolti il problema di rappresentare un numero che deriva da un\u0026rsquo;operazione tanto banale.\nSe provassimo a calcolare $\\dfrac{1}{7}$, le cose sarebbero un po\u0026rsquo; più complesse: troveremmo qualcosa come\n$$ \\frac{1}{7}=0.142857142857\\dots $$\nentrando in un ciclo infinito che ripete il gruppo di cifre $142857$.\nMa che numeri sono?\nChe cosa sono i decimali periodici? Ogni volta che un numero decimale presenta una cifra, o un gruppo di cifre, che si ripete all\u0026rsquo;infinito, si parla di decimale periodico.\nUseremo la seguente notazione per indicare un numero periodico:\n$$ 1.23\\overline{45}=1.23454545\\dots $$\nPossiamo distinguere tre parti:\nParte intera: le cifre prima della virgola; nell\u0026rsquo;esempio, $1$. Antiperiodo: il gruppo di cifre dopo la virgola che non si ripete; nell\u0026rsquo;esempio, $23$. Periodo: il gruppo di cifre dopo la virgola che si ripete; nell\u0026rsquo;esempio, $45$. La domanda sorge spontanea: dato un numero periodico a piacere, esiste una frazione che lo rappresenta?\nLa risposta è sì. Si chiama frazione generatrice la frazione che rappresenta un numero razionale periodico.\nLa frazione generatrice Vediamo come ricavare la frazione generatrice di $1.23\\overline{45}$.\nPoniamo il numero uguale a $x$ ed eseguiamo i seguenti passaggi in modo da eliminare la parte periodica.\n$$ \\begin{aligned} 1.23\\overline{45} = x \u0026amp;\\qquad \\text{\\small identificazione del numero} \\\\ 12345.\\overline{45} = 10000x \u0026amp;\\qquad \\text{\\small sposto la virgola} \\\\ 12345.\\overline{45} - 123.\\overline{45} = 10000x - 100x \u0026amp;\\qquad \\text{\\small elimino il periodo} \\\\ 12345 - 123 = 9900x \u0026amp;\\qquad \\text{\\small riduco a frazione} \\\\ \\frac{12345 - 123}{9900} = \\frac{12222}{9900} = x \u0026amp;\\qquad \\text{\\small ricavo $x$} \\\\ \\end{aligned} $$\nLa parte periodica è scomparsa e abbiamo ottenuto una frazione. Il procedimento è piuttosto semplice e può essere generalizzato.\nLa formula generale Generalizzando i passaggi dell\u0026rsquo;esempio, è chiaro che alcune operazioni coinvolgono potenze di $10$, i cui esponenti dipendono dal numero di cifre dell\u0026rsquo;antiperiodo e del periodo.\nSia dunque un numero razionale in forma decimale composto da parte intera $(I)$, antiperiodo $(A)$ e periodo $(P)$:\n$$ \\underset{\\text{ parte intera }}{\\underbrace{I}}.\\underset{\\text{ antiperiodo }}{\\underbrace{A}}\\underset{\\text{ periodo }}{\\underbrace{\\overline{P}}} $$\nIndichiamo con:\n$\\#I$ il numero di cifre della parte intera; $\\#A$ il numero di cifre dell\u0026rsquo;antiperiodo, anche quando è assente; $\\#P$ il numero di cifre del periodo, che deve essere maggiore di zero. Per scrivere la formula, adotteremo una convenzione: $IA$ indica il numero ottenuto concatenando le cifre di $I$ e $A$, mentre $IAP$ indica quello ottenuto concatenando le cifre di $I$, $A$ e $P$. Non si tratta, quindi, di prodotti.\nLa frazione generatrice è:\n$$ \\boxed{I.A\\overline{P} = \\frac{IAP-IA}{10^{\\#A}(10^{\\#P}-1)}} $$\nLa formula ci permette di ottenere direttamente la frazione generatrice, senza dover eseguire ogni volta tutti i passaggi.\nE se il numero decimale è limitato? Consideriamo ancora una volta $1.23$.\nVolendo forzare la notazione precedente, possiamo scrivere\n$$ 1.23=1.23000\\dots=1.23\\overline{0} $$\nAbbiamo esplicitato una periodicità della cifra $0$ dopo la virgola. Grazie a questo espediente, qualsiasi numero decimale limitato può essere rappresentato anche come numero periodico, permettendo alla formula della frazione generatrice di estendere la sua applicabilità.\nInfatti:\n$$ \\frac{1230-123}{\\left(10-1\\right)10^{2}} = \\frac{1107}{900} = \\frac{123}{100} = 1.23 $$\nIl caso particolare di $0.\\overline{9}$ La frazione generatrice del numero periodico $0.\\overline{9}$ è\n$$ \\frac{9}{10-1}= \\frac{9}{9} = 1 $$\nChe cosa significa? Veramente $0.999999\\ldots = 1$? Stiamo parlando dello stesso numero? Ebbene sì. La rappresentazione decimale dei numeri razionali presenta questo piccolo inconveniente: alcuni numeri, precisamente quelli con una rappresentazione decimale limitata, hanno anche una rappresentazione periodica in cui il periodo è composto dalla cifra $9$.\nProviamo a convincerci che ogni numero della forma $n.\\overline{9}$, con $n$ intero non negativo, equivale al numero intero successivo.\nPoniamo $n.\\overline{9}=x$ e procediamo come segue, moltiplicando per $10$ e sottraendo il numeo stesso:\n$$ \\begin{aligned} n.\\overline{9} \u0026amp;= x \\\\ (10n+9).\\overline{9} - n.\\overline{9} \u0026amp;= 10x - x \\\\ (10n+9) - n \u0026amp;= 9x \\\\ 9n+9 \u0026amp;= 9x \\\\ n+1 \u0026amp;= x \\\\ \\end{aligned} $$\nDunque,\n$$ n.\\overline{9} = n+1 $$\nIn particolare,\n$$ 0.\\overline{9}=1 $$\nMa anche\n$$ 1.22\\overline{9}=1.23 $$\ne così via.\nLa doppia rappresentazione non è un errore: è una proprietà della notazione decimale.\nCollegamenti con la serie geometrica Finora abbiamo ricavato la frazione generatrice attraverso la divisione e le manipolazioni algebriche. Possiamo arrivare allo stesso risultato anche attraverso l\u0026rsquo;utilizzo della serie geometrica.\nRicordiamo che\n$$ \\sum_{k=0}^{\\infty} ar^k =\\frac{a}{1-r} \\qquad |r|\u0026lt;1 $$\nDi conseguenza,\n$$ \\sum_{k=1}^{\\infty} ar^k =\\frac{a}{1-r}-a =\\frac{ar}{1-r} $$\nOgni numero razionale espresso nella forma $I.A\\overline{P}$ può essere scritto come una somma infinita:\n$$ \\begin{aligned} I.A\\overline{P} \u0026amp;= I.A+10^{-\\#A} \\left(P10^{-\\#P}+P10^{-2\\#P}+P10^{-3\\#P}+\\dots \\right) \\\\ \u0026amp;= I.A+10^{-\\#A}\\sum_{k=1}^{\\infty}P\\left(10^{-\\#P}\\right)^k \\end{aligned} $$\nApplichiamo ora la formula della serie geometrica. Poiché $10^{-\\#P}\u0026lt;1$, le condizioni sono soddisfatte:\n$$ \\begin{aligned} I.A\\overline{P} \u0026amp;= I.A+10^{-\\#A}\\frac{P10^{-\\#P}}{1-10^{-\\#P}} \\\\ \u0026amp;= \\frac{IA}{10^{\\#A}}+\\frac{P}{10^{\\#A}(10^{\\#P}-1)} \\\\ \u0026amp;= \\frac{IA(10^{\\#P}-1)+P}{10^{\\#A}(10^{\\#P}-1)} \\\\ \u0026amp;= \\frac{IAP-IA}{10^{\\#A}(10^{\\#P}-1)} \\end{aligned} $$\nAbbiamo così ritrovato la formula generale della frazione generatrice, questa volta attraverso la serie geometrica.\nIl buon vecchio esempio: $0.\\overline{9}=1$ Possiamo utilizzare la serie geometrica anche per verificare il risultato che abbiamo ottenuto in precedenza:\n$$ \\begin{aligned} 0.\\overline{9} \u0026amp;= \\frac{9}{10}+\\frac{9}{100}+\\dots \\\\ \u0026amp;= \\sum_{k=1}^{\\infty}9\\left(\\frac{1}{10}\\right)^k \\\\ \u0026amp;= \\frac{9\\cdot\\frac{1}{10}}{1-\\frac{1}{10}} \\\\ \u0026amp;= \\frac{9}{10}\\cdot\\frac{10}{9} \\\\ \u0026amp;= 1 \\end{aligned} $$\nUn esempio generico: il periodico semplice Consideriamo ora un numero periodico semplice, cioè un numero senza antiperiodo:\n$$ \\begin{aligned} 0.\\overline{P} \u0026amp;= P \\left(\\frac{1}{10^{\\#P}}+\\frac{1}{10^{2\\#P}}+\\dots\\right) \\\\ \u0026amp;= P\\sum_{k=1}^{\\infty}\\left(\\frac{1}{10^{\\#P}}\\right)^k \\\\ \u0026amp;= P\\frac{\\frac{1}{10^{\\#P}}}{1-\\frac{1}{10^{\\#P}}} = \\frac{P}{10^{\\#P}-1} = \\frac{P}{\\underbrace{99\\dots9}_{\\#P}} \\end{aligned} $$\nIl risultato è particolarmente interessante: un periodico semplice può essere trasformato in una frazione avente al denominatore tanti $9$ quante sono le cifre del periodo.\nUn ultimo esempio: un periodico misto Vediamo come questa proprietà possa semplificare i calcoli. Consideriamo il numero $0.5\\overline{67}$:\n$$ \\begin{aligned} 0.5\\overline{67} \u0026amp;= 0.5+10^{-1}\\left(\\frac{67}{100}+\\frac{67}{10000}+\\dots\\right) \\\\ \u0026amp;= 0.5+10^{-1}\\cdot67\\sum_{k=1}^{\\infty}\\left(\\frac{1}{10^2}\\right)^{k} \\\\ \u0026amp;= 0.5+10^{-1}\\cdot\\frac{67}{99} \\\\ \u0026amp;= \\frac{1}{2}+\\frac{67}{990} \\\\ \u0026amp;= \\frac{281}{495} \\end{aligned} $$\nAnche in questo caso, la serie geometrica ci permette di passare da una rappresentazione decimale infinita a una frazione, confermando il legame tra decimali periodici, numeri razionali e serie geometriche.\n","permalink":"https://blog.fuoriformula.it/posts/decimali-periodici/","summary":"\u003cp\u003eSappiamo scrivere un numero con la virgola. Ad esempio, $1.23$ significa un\u0026rsquo;unità, due decimi e tre centesimi. Le parole stesse ci suggeriscono che stiamo considerando frazioni, parti di un qualcosa.\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003eIn effetti, questo numero può essere rappresentato equivalentemente dalla frazione $\\dfrac{123}{100}$, ovvero $123 \\cdot \\dfrac{1}{100}$, che significa: consideriamo $123$ parti di un\u0026rsquo;unità divisa in $100$ parti.\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003ePer tutti i numeri che possiamo scrivere \u0026ldquo;con la virgola\u0026rdquo; (in realtà useremo il punto come notazione internazionale per il separatore decimale) e che hanno un numero finito di cifre decimali, la rappresentazione in forma di frazione è immediata.\u003c/p\u003e","title":"Decimali periodici"},{"content":"Il progetto Fuoriformula è un progetto dedicato allo studio, all\u0026rsquo;approfondimento e alla condivisione della matematica. Attraverso articoli, appunti, esercizi svolti, spunti di studio e approfondimenti teorici, raccoglie e organizza contenuti che spaziano tra diversi ambiti e livelli della disciplina, con l\u0026rsquo;obiettivo di esplorarne i concetti, i metodi e le strutture fondamentali.\nA chi si rivolge Il progetto si rivolge a studenti, insegnanti e appassionati, proponendo percorsi di studio, analisi teoriche e applicazioni che prendono spunto da testi scolastici e universitari, letteratura accademica e altre risorse didattiche. I materiali sono sviluppati attraverso un processo di studio, selezione e rielaborazione personale, con particolare attenzione al rigore matematico, alla coerenza dei passaggi e alla chiarezza espositiva.\nL\u0026rsquo;approccio L\u0026rsquo;approccio adottato non si limita alla presentazione di formule, risultati o procedure risolutive, ma mira, quando possibile, a ricostruirne le motivazioni, a comprenderne i presupposti e a mettere in luce le connessioni tra le idee. Gli esercizi diventano così occasioni per analizzare strategie risolutive e sviluppare metodi di ragionamento; i teoremi e le formule costituiscono punti di partenza per indagare le strutture concettuali che li sostengono.\nL\u0026rsquo;educazione al pensiero Accanto alla dimensione teorica, Fuoriformula valorizza la pratica matematica come strumento di esplorazione e apprendimento: affrontare un problema significa formulare ipotesi, riconoscere relazioni, valutare argomentazioni e costruire soluzioni coerenti. In questa prospettiva, la matematica non è soltanto un insieme di conoscenze da acquisire, ma anche un linguaggio e un metodo attraverso cui sviluppare rigore, autonomia e pensiero critico. Un aspetto centrale di questo approccio consiste nell\u0026rsquo;acquisire l\u0026rsquo;abitudine di interrogarsi continuamente sulle ragioni di ciò che si studia e si applica.\nPerché sto percorrendo questa strada? Perché, e in quale contesto, questo risultato è vero? Come mai questo procedimento funziona? Su quali proprietà e in che condizioni è possibile questo passaggio? Imparare a porsi le domande giuste significa andare oltre l\u0026rsquo;esecuzione meccanica delle procedure, sviluppando una comprensione consapevole dei concetti e delle relazioni che li collegano. È proprio attraverso questa attitudine critica e interrogativa che lo studio della matematica può trasformarsi da semplice acquisizione di tecniche in un autentico percorso di conoscenza, nel quale ogni risultato diventa occasione per comprendere, verificare e approfondire.\nOrigine Il progetto nasce come espressione di un percorso personale di studio e sistematizzazione della conoscenza matematica e si inserisce, al tempo stesso, nella prospettiva della condivisione aperta del sapere. La pubblicazione di contenuti online intende contribuire alla circolazione di risorse utili all\u0026rsquo;apprendimento, in continuità con il valore dell\u0026rsquo;accesso libero al materiale didattico e accademico.\nConclusione Fuoriformula vuole quindi essere uno spazio in cui studiare, approfondire e interrogare la matematica, andando oltre l\u0026rsquo;applicazione meccanica delle procedure per riscoprire le idee, i ragionamenti e le possibilità di pensiero che la disciplina offre.\n","permalink":"https://blog.fuoriformula.it/manifesto/","summary":"\u003ch2 id=\"il-progetto\"\u003eIl progetto\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003eFuoriformula\u003c/strong\u003e è un progetto dedicato allo studio, all\u0026rsquo;approfondimento e alla condivisione della matematica. Attraverso articoli, appunti, esercizi svolti, spunti di studio e approfondimenti teorici, raccoglie e organizza contenuti che spaziano tra diversi ambiti e livelli della disciplina, con l\u0026rsquo;obiettivo di esplorarne i concetti, i metodi e le strutture fondamentali.\u003c/p\u003e\n\u003ch2 id=\"a-chi-si-rivolge\"\u003eA chi si rivolge\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003eIl progetto si rivolge a studenti, insegnanti e appassionati, proponendo percorsi di studio, analisi teoriche e applicazioni che prendono spunto da testi scolastici e universitari, letteratura accademica e altre risorse didattiche. I materiali sono sviluppati attraverso un processo di studio, selezione e rielaborazione personale, con particolare attenzione al rigore matematico, alla coerenza dei passaggi e alla chiarezza espositiva.\u003c/p\u003e","title":"Manifesto"},{"content":"Si racconta che, intorno al 300 a.C., re Tolomeo I, generale di Alessandro Magno, pose a Euclide1 questa domanda: «Esiste in geometria una strada più breve degli Elementi?». Il matematico avrebbe risposto: «Non esiste via regia alla geometria».\nMa cosa significa?\nEuclide, probabilmente, rimprovera il re, spiegandogli che non esistono scorciatoie né vie privilegiate, semplici e sicure, per imparare una scienza come la geometria, che all\u0026rsquo;epoca rappresentava una disciplina fondamentale del sapere matematico. Non esiste un percorso di studio privilegiato o facilitato. Servono rigore, fatica, tempo e tentativi, non sempre gratificanti, ma sicuramente istruttivi.\nAnche io la penso così. C\u0026rsquo;è un sogno che ogni appassionato di matematica vorrebbe realizzare: poter leggere, o addirittura scrivere, il libro definitivo della matematica, quello che Paul Erdős2 chiamava The Book: una raccolta immaginaria e ideale in cui Dio custodisce le dimostrazioni più perfette, eleganti e semplici dei teoremi. Tale perfezione, però, resta un ideale irraggiungibile. È un\u0026rsquo;impresa al di fuori delle possibilità umane. Dunque, che fare? Abbandoniamo questo sogno e mettiamoci all\u0026rsquo;opera. Da qualche parte dovremo pur iniziare!\nEcco perché lo studio e l\u0026rsquo;approfondimento di una teoria matematica non vanno considerati come lo studio, ma come uno studio: un percorso da collocare in un determinato contesto, a un determinato livello e in un determinato momento della propria conoscenza matematica. Questa consapevolezza ci permette di liberare il percorso di approfondimento da perfezionismi, ossessioni e pregiudizi.\nNello spirito di divulgazione e umiltà che cercherò di mantenere, e con la massima chiarezza e correttezza possibile, questo blog parlerà di studio, approfondimento e pensiero matematico. Cercheremo di non incatenarci metaforicamente alle formule e di vivere serenamente anche Fuoriformula.\nEuclide (IV-III secolo a.C.) fu un matematico greco, attivo ad Alessandria d\u0026rsquo;Egitto, noto soprattutto per gli Elementi, una delle opere più influenti nella storia della matematica. In essa raccolse e organizzò gran parte delle conoscenze geometriche del suo tempo, costruendo un sistema deduttivo fondato su definizioni, postulati e dimostrazioni. Il suo approccio ha segnato profondamente lo sviluppo del pensiero matematico occidentale.\u0026#160;\u0026#x21a9;\u0026#xfe0e;\nPaul Erdős (1913-1996) fu un matematico ungherese, tra i più prolifici del XX secolo, noto soprattutto per i suoi contributi alla teoria dei numeri, alla combinatoria e alla teoria dei grafi. Condusse una vita insolita, priva di una sede accademica stabile, viaggiando continuamente e collaborando con matematici di tutto il mondo. Convinto sostenitore della natura collettiva della ricerca, pubblicò centinaia di articoli in collaborazione con altri studiosi. La sua figura è rimasta legata anche al celebre numero di Erdős, un indice informale che misura la distanza collaborativa di un matematico da lui attraverso le pubblicazioni scientifiche condivise.\u0026#160;\u0026#x21a9;\u0026#xfe0e;\n","permalink":"https://blog.fuoriformula.it/posts/non-esiste-una-via-regia/","summary":"\u003cp\u003eSi racconta che, intorno al 300 a.C., re Tolomeo I, generale di Alessandro Magno, pose a Euclide\u003csup id=\"fnref:1\"\u003e\u003ca href=\"#fn:1\" class=\"footnote-ref\" role=\"doc-noteref\"\u003e1\u003c/a\u003e\u003c/sup\u003e questa domanda: «Esiste in geometria una strada più breve degli \u003cem\u003eElementi\u003c/em\u003e?». 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