Sappiamo scrivere un numero con la virgola. Ad esempio, $1.23$ significa un’unità, due decimi e tre centesimi. Le parole stesse ci suggeriscono che stiamo considerando frazioni, parti di un qualcosa.
In effetti, questo numero può essere rappresentato equivalentemente dalla frazione $\dfrac{123}{100}$, ovvero $123 \cdot \dfrac{1}{100}$, che significa: consideriamo $123$ parti di un’unità divisa in $100$ parti.
Per tutti i numeri che possiamo scrivere “con la virgola” (in realtà useremo il punto come notazione internazionale per il separatore decimale) e che hanno un numero finito di cifre decimali, la rappresentazione in forma di frazione è immediata.
Proviamo ora a invertire il gioco: partiamo da una frazione e scopriamo la sua rappresentazione decimale.
Dalla frazione al numero decimale
Calcoliamo, carta e penna, il valore di $\dfrac{1}{9}$. Procederemo con la divisione usuale.
$$ \begin{array}{rrr|l} && 1\phantom{0000} & 9 \\ \hline &- & 0\phantom{0000} & 0.111\ldots \\ & & 10\phantom{000} & \\ &- & 9\phantom{000} & \\ & & 10\phantom{00} & \\ &- & 9\phantom{00} & \\ & & 10\phantom{0} & \\ & & \vdots\phantom{0} & \end{array} $$
Entriamo in un ciclo infinito: ottenuto come resto il numero $1$, aggiungiamo uno $0$ per calcolare la cifra decimale successiva, che risulta essere $1$. Calcoliamo quindi $10-9$ e torniamo ad avere resto $1$. Il procedimento si ripete indefinitamente.
Volendo usare la notazione decimale, non sarà possibile scrivere questo numero mediante una sequenza finita di cifre: avremo un $1$ che si ripete all’infinito dopo la virgola.
Fortuna che sappiamo scrivere le frazioni! Con due numerelli separati da una lineetta ci siamo tolti il problema di rappresentare un numero che deriva da un’operazione tanto banale.
Se provassimo a calcolare $\dfrac{1}{7}$, le cose sarebbero un po’ più complesse: troveremmo qualcosa come
$$ \frac{1}{7}=0.142857142857\dots $$
entrando in un ciclo infinito che ripete il gruppo di cifre $142857$.
Ma che numeri sono?
Che cosa sono i decimali periodici?
Ogni volta che un numero decimale presenta una cifra, o un gruppo di cifre, che si ripete all’infinito, si parla di decimale periodico.
Useremo la seguente notazione per indicare un numero periodico:
$$ 1.23\overline{45}=1.23454545\dots $$
Possiamo distinguere tre parti:
- Parte intera: le cifre prima della virgola; nell’esempio, $1$.
- Antiperiodo: il gruppo di cifre dopo la virgola che non si ripete; nell’esempio, $23$.
- Periodo: il gruppo di cifre dopo la virgola che si ripete; nell’esempio, $45$.
La domanda sorge spontanea: dato un numero periodico a piacere, esiste una frazione che lo rappresenta?
La risposta è sì. Si chiama frazione generatrice la frazione che rappresenta un numero razionale periodico.
La frazione generatrice
Vediamo come ricavare la frazione generatrice di $1.23\overline{45}$.
Poniamo il numero uguale a $x$ ed eseguiamo i seguenti passaggi in modo da eliminare la parte periodica.
$$ \begin{aligned} 1.23\overline{45} = x &\qquad \text{\small identificazione del numero} \\ 12345.\overline{45} = 10000x &\qquad \text{\small sposto la virgola} \\ 12345.\overline{45} - 123.\overline{45} = 10000x - 100x &\qquad \text{\small elimino il periodo} \\ 12345 - 123 = 9900x &\qquad \text{\small riduco a frazione} \\ \frac{12345 - 123}{9900} = \frac{12222}{9900} = x &\qquad \text{\small ricavo $x$} \\ \end{aligned} $$
La parte periodica è scomparsa e abbiamo ottenuto una frazione. Il procedimento è piuttosto semplice e può essere generalizzato.
La formula generale
Generalizzando i passaggi dell’esempio, è chiaro che alcune operazioni coinvolgono potenze di $10$, i cui esponenti dipendono dal numero di cifre dell’antiperiodo e del periodo.
Sia dunque un numero razionale in forma decimale composto da parte intera $(I)$, antiperiodo $(A)$ e periodo $(P)$:
$$ \underset{\text{ parte intera }}{\underbrace{I}}.\underset{\text{ antiperiodo }}{\underbrace{A}}\underset{\text{ periodo }}{\underbrace{\overline{P}}} $$
Indichiamo con:
- $\#I$ il numero di cifre della parte intera;
- $\#A$ il numero di cifre dell’antiperiodo, anche quando è assente;
- $\#P$ il numero di cifre del periodo, che deve essere maggiore di zero.
Per scrivere la formula, adotteremo una convenzione: $IA$ indica il numero ottenuto concatenando le cifre di $I$ e $A$, mentre $IAP$ indica quello ottenuto concatenando le cifre di $I$, $A$ e $P$. Non si tratta, quindi, di prodotti.
La frazione generatrice è:
$$ \boxed{I.A\overline{P} = \frac{IAP-IA}{10^{\#A}(10^{\#P}-1)}} $$
La formula ci permette di ottenere direttamente la frazione generatrice, senza dover eseguire ogni volta tutti i passaggi.
E se il numero decimale è limitato?
Consideriamo ancora una volta $1.23$.
Volendo forzare la notazione precedente, possiamo scrivere
$$ 1.23=1.23000\dots=1.23\overline{0} $$
Abbiamo esplicitato una periodicità della cifra $0$ dopo la virgola. Grazie a questo espediente, qualsiasi numero decimale limitato può essere rappresentato anche come numero periodico, permettendo alla formula della frazione generatrice di estendere la sua applicabilità.
Infatti:
$$ \frac{1230-123}{\left(10-1\right)10^{2}} = \frac{1107}{900} = \frac{123}{100} = 1.23 $$
Il caso particolare di $0.\overline{9}$
La frazione generatrice del numero periodico $0.\overline{9}$ è
$$ \frac{9}{10-1}= \frac{9}{9} = 1 $$
- Che cosa significa?
- Veramente $0.999999\ldots = 1$?
- Stiamo parlando dello stesso numero?
Ebbene sì. La rappresentazione decimale dei numeri razionali presenta questo piccolo inconveniente: alcuni numeri, precisamente quelli con una rappresentazione decimale limitata, hanno anche una rappresentazione periodica in cui il periodo è composto dalla cifra $9$.
Proviamo a convincerci che ogni numero della forma $n.\overline{9}$, con $n$ intero non negativo, equivale al numero intero successivo.
Poniamo $n.\overline{9}=x$ e procediamo come segue, moltiplicando per $10$ e sottraendo il numeo stesso:
$$ \begin{aligned} n.\overline{9} &= x \\ (10n+9).\overline{9} - n.\overline{9} &= 10x - x \\ (10n+9) - n &= 9x \\ 9n+9 &= 9x \\ n+1 &= x \\ \end{aligned} $$
Dunque,
$$ n.\overline{9} = n+1 $$
In particolare,
$$ 0.\overline{9}=1 $$
Ma anche
$$ 1.22\overline{9}=1.23 $$
e così via.
La doppia rappresentazione non è un errore: è una proprietà della notazione decimale.
Collegamenti con la serie geometrica
Finora abbiamo ricavato la frazione generatrice attraverso la divisione e le manipolazioni algebriche. Possiamo arrivare allo stesso risultato anche attraverso l’utilizzo della serie geometrica.
Ricordiamo che
$$ \sum_{k=0}^{\infty} ar^k =\frac{a}{1-r} \qquad |r|<1 $$
Di conseguenza,
$$ \sum_{k=1}^{\infty} ar^k =\frac{a}{1-r}-a =\frac{ar}{1-r} $$
Ogni numero razionale espresso nella forma $I.A\overline{P}$ può essere scritto come una somma infinita:
$$ \begin{aligned} I.A\overline{P} &= I.A+10^{-\#A} \left(P10^{-\#P}+P10^{-2\#P}+P10^{-3\#P}+\dots \right) \\ &= I.A+10^{-\#A}\sum_{k=1}^{\infty}P\left(10^{-\#P}\right)^k \end{aligned} $$
Applichiamo ora la formula della serie geometrica. Poiché $10^{-\#P}<1$, le condizioni sono soddisfatte:
$$ \begin{aligned} I.A\overline{P} &= I.A+10^{-\#A}\frac{P10^{-\#P}}{1-10^{-\#P}} \\ &= \frac{IA}{10^{\#A}}+\frac{P}{10^{\#A}(10^{\#P}-1)} \\ &= \frac{IA(10^{\#P}-1)+P}{10^{\#A}(10^{\#P}-1)} \\ &= \frac{IAP-IA}{10^{\#A}(10^{\#P}-1)} \end{aligned} $$
Abbiamo così ritrovato la formula generale della frazione generatrice, questa volta attraverso la serie geometrica.
Il buon vecchio esempio: $0.\overline{9}=1$
Possiamo utilizzare la serie geometrica anche per verificare il risultato che abbiamo ottenuto in precedenza:
$$ \begin{aligned} 0.\overline{9} &= \frac{9}{10}+\frac{9}{100}+\dots \\ &= \sum_{k=1}^{\infty}9\left(\frac{1}{10}\right)^k \\ &= \frac{9\cdot\frac{1}{10}}{1-\frac{1}{10}} \\ &= \frac{9}{10}\cdot\frac{10}{9} \\ &= 1 \end{aligned} $$
Un esempio generico: il periodico semplice
Consideriamo ora un numero periodico semplice, cioè un numero senza antiperiodo:
$$ \begin{aligned} 0.\overline{P} &= P \left(\frac{1}{10^{\#P}}+\frac{1}{10^{2\#P}}+\dots\right) \\ &= P\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{10^{\#P}}\right)^k \\ &= P\frac{\frac{1}{10^{\#P}}}{1-\frac{1}{10^{\#P}}} = \frac{P}{10^{\#P}-1} = \frac{P}{\underbrace{99\dots9}_{\#P}} \end{aligned} $$
Il risultato è particolarmente interessante: un periodico semplice può essere trasformato in una frazione avente al denominatore tanti $9$ quante sono le cifre del periodo.
Un ultimo esempio: un periodico misto
Vediamo come questa proprietà possa semplificare i calcoli. Consideriamo il numero $0.5\overline{67}$:
$$ \begin{aligned} 0.5\overline{67} &= 0.5+10^{-1}\left(\frac{67}{100}+\frac{67}{10000}+\dots\right) \\ &= 0.5+10^{-1}\cdot67\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{10^2}\right)^{k} \\ &= 0.5+10^{-1}\cdot\frac{67}{99} \\ &= \frac{1}{2}+\frac{67}{990} \\ &= \frac{281}{495} \end{aligned} $$
Anche in questo caso, la serie geometrica ci permette di passare da una rappresentazione decimale infinita a una frazione, confermando il legame tra decimali periodici, numeri razionali e serie geometriche.